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利用幾種債券可以估計出描述違約概率期限
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一家公司違約的概率可以從它發行的債券的價格來估計。通常的假設是，公司債券的售價低于同類無風險債券的唯一原因是違約的可能性。這個假設并不完美。實際上，公司債券的價格受到其流動性的影響。流動性越低，價格就越低。]
首先考慮一個近似計算。假設一種債券的收益率比類似的無風險債券高出200個基點，并且在違約情況下的預期回收率為40%。公司債券的持有者必須預期違約會導致200個基點(或每年2%)的損失。考慮到40%的回收率，這導致每年在沒有更早違約的條件下發生違約的概率估計為0.02/(1 - 0.4)，或3.33%。一般來說,
X = (23.2)
在第j式中，X為每年的平均風險率(違約強度)，s為公司債券收益率與無風險率的差值，R為預期回收率。
更精確的計算
為了更精確的計算，假設我們考慮的公司債券 ing持續5年，年息6%(每半年支付一次)，公司債券的收益率為每年7%(連續復利)。類似的無風險債券的收益率是5%(連續復利)。收益率表明公司債券的價格為95.34，無風險債券的價格為104.09。因此，5年期債券違約的預期損失為104.09 - 95.34美元，即8.75美元。假設每年的無條件違約概率(假設每年都是相同的)是Q。表23.3在假設違約發生時間為0.5年、1.5年、2.5年、3.5年和4.5年(就在息票支付日期之前)的情況下，用Q計算違約的預期損失。假定所有期限的無風險利率為5%(連續復利)。
為了說明計算結果，可以考慮表23.3中3.5年這一行。公司債券在3.5年的預期價值(使用遠期利率計算)
表23.3按每年的違約概率計算債券違約損失q名義本金= $100。
時間(年)違約概率追回金額($)無風險值($)給定違約損失($)預期損失折現因子pv (5)
0.5 q 40 106.73 66.73 0.9753 65.08。
1.5 q 40 105.97 65.97 0.9277 61.202
2.5 q 40 105.17 65.17 0.8825 57.52。
3.5 q 40 104.34 64.34 0.8395 54.01 q
4.5 q 40 103.46 63.46 0.7985 50.67。
總288.48q
假設沒有違約的可能性)
3 + 3e -°·5x0.5 + 3^-0.05x1.0 + i03e-0·05xi。5 = 104.34
根據上一節對回收率的定義，如果發生違約，追回的金額為40，因此，如果發生違約，損失為104.34 - 40，即$64.34。該損失的現值為54.01。因此，預期損失為54.01 Q。
總預期損失為288.48(2-設此值為8.75，我們得到Q值為8.75/288.48，或3.03%。我們給出的計算假設每年的違約概率是相同的，并且一年中只發生一次違約。我們可以擴展計算，假設違約會發生得更頻繁。
此外，我們可以不假設無條件違約概率為常數，而是假設風險率(違約強度)為常數，或者假設違約概率隨時間變化的特定模式。利用幾種債券，我們可以估計出幾種描述違約概率期限結構的參數。例如，假設我們有3年、5年、7年和10年到期的債券。
我們可以使用第一種債券來估計前3年每年的違約概率，第二種債券來估計第4年和第5年的每年違約概率，第三種債券來估計第6年和第7年的違約概率，第四種債券來估計第8年、第9年和第10年的違約概率(參見問題23.13和23.27)。這種方法類似于4.5節中計算零息債券收益率曲線的自助程序。
首先考慮一個近似計算。假設一種債券的收益率比類似的無風險債券高出200個基點，并且在違約情況下的預期回收率為40%。公司債券的持有者必須預期違約會導致200個基點(或每年2%)的損失。考慮到40%的回收率，這導致每年在沒有更早違約的條件下發生違約的概率估計為0.02/(1 - 0.4)，或3.33%。一般來說,
X = (23.2)
在第j式中，X為每年的平均風險率(違約強度)，s為公司債券收益率與無風險率的差值，R為預期回收率。
更精確的計算
為了更精確的計算，假設我們考慮的公司債券 ing持續5年，年息6%(每半年支付一次)，公司債券的收益率為每年7%(連續復利)。類似的無風險債券的收益率是5%(連續復利)。收益率表明公司債券的價格為95.34，無風險債券的價格為104.09。因此，5年期債券違約的預期損失為104.09 - 95.34美元，即8.75美元。假設每年的無條件違約概率(假設每年都是相同的)是Q。表23.3在假設違約發生時間為0.5年、1.5年、2.5年、3.5年和4.5年(就在息票支付日期之前)的情況下，用Q計算違約的預期損失。假定所有期限的無風險利率為5%(連續復利)。
為了說明計算結果，可以考慮表23.3中3.5年這一行。公司債券在3.5年的預期價值(使用遠期利率計算)
表23.3按每年的違約概率計算債券違約損失q名義本金= $100。
時間(年)違約概率追回金額($)無風險值($)給定違約損失($)預期損失折現因子pv (5)
0.5 q 40 106.73 66.73 0.9753 65.08。
1.5 q 40 105.97 65.97 0.9277 61.202
2.5 q 40 105.17 65.17 0.8825 57.52。
3.5 q 40 104.34 64.34 0.8395 54.01 q
4.5 q 40 103.46 63.46 0.7985 50.67。
總288.48q
假設沒有違約的可能性)
3 + 3e -°·5x0.5 + 3^-0.05x1.0 + i03e-0·05xi。5 = 104.34
根據上一節對回收率的定義，如果發生違約，追回的金額為40，因此，如果發生違約，損失為104.34 - 40，即$64.34。該損失的現值為54.01。因此，預期損失為54.01 Q。
總預期損失為288.48(2-設此值為8.75，我們得到Q值為8.75/288.48，或3.03%。我們給出的計算假設每年的違約概率是相同的，并且一年中只發生一次違約。我們可以擴展計算，假設違約會發生得更頻繁。
此外，我們可以不假設無條件違約概率為常數，而是假設風險率(違約強度)為常數，或者假設違約概率隨時間變化的特定模式。利用幾種債券，我們可以估計出幾種描述違約概率期限結構的參數。例如，假設我們有3年、5年、7年和10年到期的債券。
我們可以使用第一種債券來估計前3年每年的違約概率，第二種債券來估計第4年和第5年的每年違約概率，第三種債券來估計第6年和第7年的違約概率，第四種債券來估計第8年、第9年和第10年的違約概率(參見問題23.13和23.27)。這種方法類似于4.5節中計算零息債券收益率曲線的自助程序。
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