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其實投資組合只在很短的時間內保持無風險
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我們通過研究第13章中介紹的股票價格過程的性質來開始這一章。這個過程意味著，考慮到股票今天的價格，未來某個時間的價格是對數正態的。這也意味著股票在一段時間內的連續com 磅的收益是正態分布的。展望未來，我們對未來股票價格的不確定性也隨之增加。股票價格的對數的標準差與我們預測的距離的平方根成正比。
為了實證地估計股票價格的波動率，我們在固定的時間間隔(例如，每天、每周或每個月)觀察股票價格。股票期權交易資料，僅供參考，對于每個時間段，計算時間段結束時的股價與時間段開始時股價之比的自然對數。波動率的估計是這些數字的標準差除以年的時間周期長度的平方根。通常，在計算波動率時，交易所關閉的天數會被忽略。
通過創建一個由期權和股票組成的無風險投資組合，可以得到任何與股票相關的衍生品價格的微分方程。因為衍生品和股票價格都依賴于相同的潛在來源，這總是可以做到的。創建的投資組合只在很短的時間內保持無風險。然而，如果不存在套利機會，無風險投資組合的回報必須始終是無風險利率。
股票的預期回報率沒有進入布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程。這導致了一個有用的結果，稱為風險中性估值。這個結果表明，當對一種依賴于股票價格的衍生品估值時，我們可以假設世界是風險中性的。這意味著我們可以假設股票的預期收益是無風險利率，然后在無風險利率下折現預期收益。歐洲買入和看跌期權的布萊克-斯科爾斯-默頓方程可以通過求解其微分方程或使用風險 中性估值來推導。
隱含波動率是指與布萊克-斯科爾斯-默頓期權定價公式結合使用時，給出期權的市場價格的波動率。股票期權交易資料，僅供參考，交易員監控隱含波動率。他們經常引用期權的隱含波動率而不是其價格。他們已經開發出了利用活躍交易期權價格隱含的波動率來估計其他期權波動率的程序。
Black-Scholes-Merton結果還可以擴展到歐洲派息股票的看漲期權和看跌期權。其過程是使用Black-Scholes-Merton公式，將股價減去期權存續期間預期股息的現值，而波動率等于股價波動率減去這些股息的現值。
從理論上講，在任何除息日之前立即執行美國看漲期權可能是最優的。在實踐中，通常只需要考慮最終除息日期。菲舍爾·布萊克提出了一個近似。這涉及到將美國的看漲期權價格設定為兩個歐洲看漲期權價格中較大的一個。第一份歐洲看漲期權與美國看漲期權同時到期;第二個在最后除息日期之前到期。
我們通過研究第13章中介紹的股票價格過程的性質來開始這一章。這個過程意味著，考慮到股票今天的價格，未來某個時間的價格是對數正態的。這也意味著股票在一段時間內的連續com 磅的收益是正態分布的。展望未來，我們對未來股票價格的不確定性也隨之增加。股票價格的對數的標準差與我們預測的距離的平方根成正比。
為了實證地估計股票價格的波動率，我們在固定的時間間隔(例如，每天、每周或每個月)觀察股票價格。股票期權交易資料，僅供參考，對于每個時間段，計算時間段結束時的股價與時間段開始時股價之比的自然對數。波動率的估計是這些數字的標準差除以年的時間周期長度的平方根。通常，在計算波動率時，交易所關閉的天數會被忽略。
通過創建一個由期權和股票組成的無風險投資組合，可以得到任何與股票相關的衍生品價格的微分方程。因為衍生品和股票價格都依賴于相同的潛在來源，這總是可以做到的。創建的投資組合只在很短的時間內保持無風險。然而，如果不存在套利機會，無風險投資組合的回報必須始終是無風險利率。
股票的預期回報率沒有進入布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程。這導致了一個有用的結果，稱為風險中性估值。這個結果表明，當對一種依賴于股票價格的衍生品估值時，我們可以假設世界是風險中性的。這意味著我們可以假設股票的預期收益是無風險利率，然后在無風險利率下折現預期收益。歐洲買入和看跌期權的布萊克-斯科爾斯-默頓方程可以通過求解其微分方程或使用風險 中性估值來推導。
隱含波動率是指與布萊克-斯科爾斯-默頓期權定價公式結合使用時，給出期權的市場價格的波動率。股票期權交易資料，僅供參考，交易員監控隱含波動率。他們經常引用期權的隱含波動率而不是其價格。他們已經開發出了利用活躍交易期權價格隱含的波動率來估計其他期權波動率的程序。
Black-Scholes-Merton結果還可以擴展到歐洲派息股票的看漲期權和看跌期權。其過程是使用Black-Scholes-Merton公式，將股價減去期權存續期間預期股息的現值，而波動率等于股價波動率減去這些股息的現值。
從理論上講，在任何除息日之前立即執行美國看漲期權可能是最優的。在實踐中，通常只需要考慮最終除息日期。菲舍爾·布萊克提出了一個近似。這涉及到將美國的看漲期權價格設定為兩個歐洲看漲期權價格中較大的一個。第一份歐洲看漲期權與美國看漲期權同時到期;第二個在最后除息日期之前到期。
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