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根據(jù)指數(shù)5年期間的波動(dòng)分析股價(jià)下跌的概率
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在下一節(jié)中，我們將討論如何估計(jì)GARCH(1,1)中的最佳擬合參數(shù)co，以和p。當(dāng)參數(shù)a>為0時(shí)，GARCH(1.1)降為EWMA。在最佳擬合值為負(fù)的情況下，GARCH(1,1)模型不穩(wěn)定，切換到EWMA模型是有意義的。
最大似然方法
現(xiàn)在是討論如何從歷史數(shù)據(jù)估計(jì)我們所考慮的模型中的參數(shù)的時(shí)候了。所使用的方法被稱為最大似然法。它涉及為參數(shù)選擇值，使數(shù)據(jù)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)(或可能性)最大化。
為了說明這個(gè)方法，我們從一個(gè)非常簡單的例子開始。假設(shè)我們在某一天隨機(jī)抽取10只股票，發(fā)現(xiàn)其中一只股票的價(jià)格在當(dāng)天下跌，而其他9只股票的價(jià)格要么保持不變，要么上漲。價(jià)格下跌的最好估計(jì)是多少?自然答案是0.1。讓我們看看這是不是最大似然法給出的結(jié)果。
假設(shè)股價(jià)下跌的概率為p。某只股票下跌而其他9只股票不下跌的概率為p(] - p)9。國外股票期貨資料，僅供參考，利用最大似然方法，p的最佳估計(jì)是使p(l - pf)最大化的估計(jì)，將該表達(dá)式與p微分并使結(jié)果為零，我們發(fā)現(xiàn)p - 0.1使該表達(dá)式最大化。這表明p的最大似然估計(jì)是0.1，正如預(yù)期的那樣。
長期波動(dòng)率為每天0.0002075，即1.4404%。
圖22.1和22.2顯示了標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)及其GARCH(1,1)在數(shù)據(jù)涵蓋的5年期間的波動(dòng)。大多數(shù)時(shí)候，波動(dòng)率每天不到2%，但在信貸危機(jī)期間，波動(dòng)率曾高達(dá)每天5%。(非常高的波動(dòng)率也由VIX指數(shù)一顯示，見第14.11節(jié)。)
GARCH(1,1)中估計(jì)參數(shù)的另一種方法，有時(shí)更穩(wěn)健，被稱為方差目標(biāo)}[參見R. Engle和J. Mezrich，“群體的GARCH”，風(fēng)險(xiǎn)，1996年8月:36-40。這涉及到設(shè)置長期平均方差率VL。等于從數(shù)據(jù)中計(jì)算出的樣本方差(或其他被認(rèn)為是合理的值)。o)的值等于VL(1 - q -£)，只有兩個(gè)參數(shù)必須估計(jì)。對于表22.1中的數(shù)據(jù)，樣本方差為0.0002412，日波動(dòng)率為1.5531%。設(shè)VL為樣本方差，方程(22.12)中使目標(biāo)函數(shù)最大化的a和£的值分別為0.08445和0.9101。目標(biāo)函數(shù)的值是10,2281941，僅略低于使用前面的程序得到的10,2282349。
當(dāng)使用EWMA模型時(shí)，估計(jì)過程相對簡單。我們設(shè)置co - 0, a - 1 - X，和0 =人，只需要估計(jì)一個(gè)參數(shù)。國外股票期貨資料，僅供參考，在表22.1的數(shù)據(jù)中，式(22.12)中使目標(biāo)函數(shù)最大化的A值為0.9374，目標(biāo)函數(shù)值為10192.5104。
GARCH(1,1)和EWMA方法都可以通過使用Excel中的Solver例程來搜索使似然函數(shù)最大化的參數(shù)值來實(shí)現(xiàn)。如果電子表格是結(jié)構(gòu)化的，那么這個(gè)例程可以很好地工作，以便搜索的參數(shù)具有大致相等的值。
最大似然方法
現(xiàn)在是討論如何從歷史數(shù)據(jù)估計(jì)我們所考慮的模型中的參數(shù)的時(shí)候了。所使用的方法被稱為最大似然法。它涉及為參數(shù)選擇值，使數(shù)據(jù)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)(或可能性)最大化。
為了說明這個(gè)方法，我們從一個(gè)非常簡單的例子開始。假設(shè)我們在某一天隨機(jī)抽取10只股票，發(fā)現(xiàn)其中一只股票的價(jià)格在當(dāng)天下跌，而其他9只股票的價(jià)格要么保持不變，要么上漲。價(jià)格下跌的最好估計(jì)是多少?自然答案是0.1。讓我們看看這是不是最大似然法給出的結(jié)果。
假設(shè)股價(jià)下跌的概率為p。某只股票下跌而其他9只股票不下跌的概率為p(] - p)9。國外股票期貨資料，僅供參考，利用最大似然方法，p的最佳估計(jì)是使p(l - pf)最大化的估計(jì)，將該表達(dá)式與p微分并使結(jié)果為零，我們發(fā)現(xiàn)p - 0.1使該表達(dá)式最大化。這表明p的最大似然估計(jì)是0.1，正如預(yù)期的那樣。
長期波動(dòng)率為每天0.0002075，即1.4404%。
圖22.1和22.2顯示了標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)及其GARCH(1,1)在數(shù)據(jù)涵蓋的5年期間的波動(dòng)。大多數(shù)時(shí)候，波動(dòng)率每天不到2%，但在信貸危機(jī)期間，波動(dòng)率曾高達(dá)每天5%。(非常高的波動(dòng)率也由VIX指數(shù)一顯示，見第14.11節(jié)。)
GARCH(1,1)中估計(jì)參數(shù)的另一種方法，有時(shí)更穩(wěn)健，被稱為方差目標(biāo)}[參見R. Engle和J. Mezrich，“群體的GARCH”，風(fēng)險(xiǎn)，1996年8月:36-40。這涉及到設(shè)置長期平均方差率VL。等于從數(shù)據(jù)中計(jì)算出的樣本方差(或其他被認(rèn)為是合理的值)。o)的值等于VL(1 - q -£)，只有兩個(gè)參數(shù)必須估計(jì)。對于表22.1中的數(shù)據(jù)，樣本方差為0.0002412，日波動(dòng)率為1.5531%。設(shè)VL為樣本方差，方程(22.12)中使目標(biāo)函數(shù)最大化的a和£的值分別為0.08445和0.9101。目標(biāo)函數(shù)的值是10,2281941，僅略低于使用前面的程序得到的10,2282349。
當(dāng)使用EWMA模型時(shí)，估計(jì)過程相對簡單。我們設(shè)置co - 0, a - 1 - X，和0 =人，只需要估計(jì)一個(gè)參數(shù)。國外股票期貨資料，僅供參考，在表22.1的數(shù)據(jù)中，式(22.12)中使目標(biāo)函數(shù)最大化的A值為0.9374，目標(biāo)函數(shù)值為10192.5104。
GARCH(1,1)和EWMA方法都可以通過使用Excel中的Solver例程來搜索使似然函數(shù)最大化的參數(shù)值來實(shí)現(xiàn)。如果電子表格是結(jié)構(gòu)化的，那么這個(gè)例程可以很好地工作，以便搜索的參數(shù)具有大致相等的值。
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