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衍生品的價(jià)格可以使用風(fēng)險(xiǎn)中性來估值
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任何函數(shù)f(S, t)是微分方程(14.16)的解，都是可以交易的衍生品的理論價(jià)格。如果存在這種價(jià)格的衍生品，它不會(huì)創(chuàng)造任何套利機(jī)會(huì)。相反，如果函數(shù)f(S, t)不滿足微分方程(14.16)，它不可能是衍生品的價(jià)格，而不為交易者創(chuàng)造套利機(jī)會(huì)。
為了說明這一點(diǎn)，首先考慮函數(shù)es。這不滿足微分方程(14.16)。股票期權(quán)交易資料，僅供參考，因此，它不是依賴于股票價(jià)格的衍生品價(jià)格的候選者。如果一種工具的價(jià)格一直是es，那么就存在套利機(jī)會(huì)。
14.7風(fēng)險(xiǎn)中性估值
在第12章中，我們結(jié)合二項(xiàng)式模型引入了風(fēng)險(xiǎn)中性估值。毫無疑問，它是分析衍生品的唯一最重要的工具。它源于布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程(14.16)的一個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)。這個(gè)特性就是方程中不包含任何受投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好影響的變量。
方程中出現(xiàn)的變量是當(dāng)前股價(jià)、時(shí)間、股價(jià)波動(dòng)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率。所有這些都獨(dú)立于風(fēng)險(xiǎn)偏好。
如果Black-Scholes-Merton微分方程涉及到股票的預(yù)期回報(bào)，那么它就不能獨(dú)立于風(fēng)險(xiǎn)偏好。這是因?yàn)?I的值確實(shí)取決于風(fēng)險(xiǎn)偏好。投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度越高，“對(duì)任何股票”的價(jià)值就越高。很幸運(yùn)，/x在微分方程的求導(dǎo)過程中沒有出現(xiàn)。
由于布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程與風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)，因此可以使用一個(gè)巧妙的論點(diǎn)。如果風(fēng)險(xiǎn)偏好不參與其中，它們也不會(huì)影響解決方案。因此，在評(píng)估f時(shí)，可以使用任何一組風(fēng)險(xiǎn)偏好。特別是，可以做出一個(gè)非常簡(jiǎn)單的假設(shè)，即所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。
在一個(gè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，所有投資資產(chǎn)的預(yù)期回報(bào)率都是無風(fēng)險(xiǎn)利率r。原因是風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者不需要溢價(jià)來誘導(dǎo)他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。同樣正確的是，在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，任何現(xiàn)金流的現(xiàn)值都可以通過在無風(fēng)險(xiǎn)率下對(duì)其預(yù)期值進(jìn)行折現(xiàn)得到。股票期權(quán)交易資料，僅供參考，因此，世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)確實(shí)大大簡(jiǎn)化了對(duì)衍生品的分析。
考慮一種在特定時(shí)間提供收益的衍生品。它可以通過以下程序使用風(fēng)險(xiǎn)中性估值來估值:
1.假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益為無風(fēng)險(xiǎn)利率r(即假設(shè)/jl = r)。
2.通過導(dǎo)數(shù)計(jì)算預(yù)期收益。
3.在無風(fēng)險(xiǎn)利率下折現(xiàn)預(yù)期收益。
重要的是要認(rèn)識(shí)到，風(fēng)險(xiǎn)中性估值(或所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè))只是獲得布萊克-斯科爾斯-默頓(Black-Scholes-Merton)微分方程解的一種人為工具。得到的解決方案在所有世界都是有效的，而不僅僅是在投資者風(fēng)險(xiǎn)中立的世界。
當(dāng)我們從風(fēng)險(xiǎn)中性世界轉(zhuǎn)向風(fēng)險(xiǎn)厭惡世界時(shí)，會(huì)發(fā)生兩件事。股票價(jià)格變動(dòng)時(shí)的預(yù)期增長(zhǎng)率和必須用于衍生品變動(dòng)的任何收益的貼現(xiàn)率。這兩種變化總是恰好相互抵消。
任何函數(shù)f(S, t)是微分方程(14.16)的解，都是可以交易的衍生品的理論價(jià)格。如果存在這種價(jià)格的衍生品，它不會(huì)創(chuàng)造任何套利機(jī)會(huì)。相反，如果函數(shù)f(S, t)不滿足微分方程(14.16)，它不可能是衍生品的價(jià)格，而不為交易者創(chuàng)造套利機(jī)會(huì)。
為了說明這一點(diǎn)，首先考慮函數(shù)es。這不滿足微分方程(14.16)。股票期權(quán)交易資料，僅供參考，因此，它不是依賴于股票價(jià)格的衍生品價(jià)格的候選者。如果一種工具的價(jià)格一直是es，那么就存在套利機(jī)會(huì)。
14.7風(fēng)險(xiǎn)中性估值
在第12章中，我們結(jié)合二項(xiàng)式模型引入了風(fēng)險(xiǎn)中性估值。毫無疑問，它是分析衍生品的唯一最重要的工具。它源于布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程(14.16)的一個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)。這個(gè)特性就是方程中不包含任何受投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好影響的變量。
方程中出現(xiàn)的變量是當(dāng)前股價(jià)、時(shí)間、股價(jià)波動(dòng)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率。所有這些都獨(dú)立于風(fēng)險(xiǎn)偏好。
如果Black-Scholes-Merton微分方程涉及到股票的預(yù)期回報(bào)，那么它就不能獨(dú)立于風(fēng)險(xiǎn)偏好。這是因?yàn)?I的值確實(shí)取決于風(fēng)險(xiǎn)偏好。投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度越高，“對(duì)任何股票”的價(jià)值就越高。很幸運(yùn)，/x在微分方程的求導(dǎo)過程中沒有出現(xiàn)。
由于布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程與風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)，因此可以使用一個(gè)巧妙的論點(diǎn)。如果風(fēng)險(xiǎn)偏好不參與其中，它們也不會(huì)影響解決方案。因此，在評(píng)估f時(shí)，可以使用任何一組風(fēng)險(xiǎn)偏好。特別是，可以做出一個(gè)非常簡(jiǎn)單的假設(shè)，即所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。
在一個(gè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，所有投資資產(chǎn)的預(yù)期回報(bào)率都是無風(fēng)險(xiǎn)利率r。原因是風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者不需要溢價(jià)來誘導(dǎo)他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。同樣正確的是，在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，任何現(xiàn)金流的現(xiàn)值都可以通過在無風(fēng)險(xiǎn)率下對(duì)其預(yù)期值進(jìn)行折現(xiàn)得到。股票期權(quán)交易資料，僅供參考，因此，世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)確實(shí)大大簡(jiǎn)化了對(duì)衍生品的分析。
考慮一種在特定時(shí)間提供收益的衍生品。它可以通過以下程序使用風(fēng)險(xiǎn)中性估值來估值:
1.假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益為無風(fēng)險(xiǎn)利率r(即假設(shè)/jl = r)。
2.通過導(dǎo)數(shù)計(jì)算預(yù)期收益。
3.在無風(fēng)險(xiǎn)利率下折現(xiàn)預(yù)期收益。
重要的是要認(rèn)識(shí)到，風(fēng)險(xiǎn)中性估值(或所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè))只是獲得布萊克-斯科爾斯-默頓(Black-Scholes-Merton)微分方程解的一種人為工具。得到的解決方案在所有世界都是有效的，而不僅僅是在投資者風(fēng)險(xiǎn)中立的世界。
當(dāng)我們從風(fēng)險(xiǎn)中性世界轉(zhuǎn)向風(fēng)險(xiǎn)厭惡世界時(shí)，會(huì)發(fā)生兩件事。股票價(jià)格變動(dòng)時(shí)的預(yù)期增長(zhǎng)率和必須用于衍生品變動(dòng)的任何收益的貼現(xiàn)率。這兩種變化總是恰好相互抵消。
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