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期權假設波動率恒定。

重要性抽樣

重要性抽樣最好用一個例子來解釋。假設我們希望計算一種帶有行權價的超價歐洲看漲期權的價格

K和期限T。如果我們以通常的方式對標的資產在時間T的價格進行抽樣，大多數路徑將導致零收益。這是一種計算時間的浪費，因為零收益路徑對期權價值的確定貢獻很小。因此，我們盡量只選擇重要路徑，也就是到期時股票價格高于K的路徑。

假設F是T和q時刻股票價格的無條件概率分布函數，通過解析可知股票價格在到期日大于K的概率。那么G = f是股價大于k的情況下股價的概率分布。為了實現重要抽樣，我們從G而不是f抽樣。期權價值的估計是平均折現收益乘以q。

分層抽樣

從概率分布抽樣代表值而不是隨機值通常會給出更準確的結果。分層抽樣就是一種方法。假設我們希望從一個概率分布中取1000個樣本。我們將分布分成1000個等可能區間，并為每個區間選擇一個代表值(通常是平均值或中位數)。

在有n個區間的標準正態分布情況下，我們可以計算第z個區間的代表值為

其中N~x為逆累積正態分布。例如，當n = 4時，四個區間對應的代表值為2*(0.125)，A^_1(0.375)， 2一1(0.625)，n ~i(0.875)。函數N_’可以使用Excel中的NORMSINV函數計算。

矩匹配

矩匹配涉及調整從標準化正態分布中提取的樣本，以便匹配第一、第二和可能更高的矩。假設我們從一個均值為0，標準差為1的正態分布中抽樣來計算特定變量在特定時間段內的值變化。假設樣本是§(1 W i W”)•為了匹配前兩個時刻，我們計算樣本的均值，m，和樣本的標準偏差，s。

這些調整后的樣本的正確平均值為0，正確標準差為1.0。我們使用調整后的樣本進行所有計算。

矩匹配節省了計算時間，但可能會導致內存問題，因為采樣的每個數字必須存儲到模擬結束。矩匹配有時被稱為二次重采樣。它經常與對偶變量技術結合使用。因為后者會自動匹配所有奇數矩，所以矩匹配的目標就變成了匹配第二個矩，可能還有第四個矩。

使用擬隨機序列

準隨機序列(也稱為低差異序列)是一個概率分布中具有代表性的樣本序列。準隨機這個詞是用詞不當。準隨機序列是完全確定的。

準隨機抽樣類似于分層抽樣。我們的目標是對底層變量的代表性值進行抽樣。在分層抽樣中，假設我們事先知道將抽取多少樣本。準隨機抽樣方法更為靈活。采樣的方式使我們總是在現有樣本之間4’填充’空白。在模擬的每個階段，采樣點在概率空間中大致均勻分布。

圖20.14顯示了使用Sobol’.22建議的程序在二維中生成的點可以看到，連續的點確實傾向于填補前點留下的空白。

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