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樹形方法和有限差分方法適用于哪些衍生品
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其他有限差分法
許多已提出的其他有限差分方法既有顯式有限差分方法的一些特點，又有隱式有限差分方法的一些特點。
在所謂的跳房子方法中，當我們從一個節點移動到另一個節點時，我們在顯式和隱式計算之間交替進行。如圖20.18所示。在每一次，我們首先在顯式節點，，(E)上按照通常的方式進行所有的計算。“隱式節點”(I)可以在不求解聯立方程組的情況下處理，因為相鄰節點的值已經計算過了。
有限差分法的應用
有限差分法與樹形法同樣適用于同類的導數定價問題。它們既可以處理美式的衍生品，也可以處理歐式的衍生品 tives，但在衍生品的收益取決于基礎變量的過去歷史的情況下，就不能輕易使用了。當有多個狀態變量時，可以使用有限差分方法，但要付出大量增加計算機時間的代價。然后，圖20.15中的網格就變成了多維的。
計算希臘字母的方法類似于計算樹木的方法。Delta, gamma和可以直接從網格上的j\，j值中計算出來。對于vega，有必要對波動率做一個小的改變，并重新計算使用相同的網格的衍生品的價值。
總結
我們提出了三種不同的數值程序來計算導數，當沒有解析解可用。這些涉及到樹的使用，蒙特卡羅模擬和有限差分方法。
二叉樹假設，在每個短時間間隔At內，股價要么以u的倍數上升，要么以d的倍數下降。選擇u和d的大小及其相關的概率，以便在風險中性的世界中，股價的變化具有正確的平均值和標準差。衍生品價格的計算是從樹的末端開始，然后向后推算。對于美式期權，節點上的價值是(a)立即行使的價值和(b)再持有一段時間AL的貼現預期價值的較大值
蒙特卡洛模擬包括使用隨機數對衍生品下的變量在風險中性世界中可能遵循的許多不同路徑進行采樣。對于每條路徑，都以無風險利率計算并折現收益。折現收益的算術平均值就是導數的估計值。
有限差分法通過將基礎微分方程轉化為差分方程來求解。它們類似于樹形方法，計算從導數的生命周期結束回到開始。顯式有限差分法與三叉樹法在功能上是相同的。隱式有限差分法更為復雜，但其優點是用戶不必采取任何特別的注意事項來保證收斂。
在實踐中，所選擇的方法很可能取決于所評估的導數的特征和所需的精度。蒙特卡洛模擬工作從開始到結束的導數的生命。它可以用于歐洲式的衍生品，就收益而言，它可以應付大量的復雜性。隨著潛在變量數量的增加，它會變得相對更有效。
樹形方法和有限差分方法從證券的生命周期結束到開始，可以適用于美式和歐式的衍生品。然而，當收益取決于狀態變量的過去歷史以及它們的當前值時，它們很難適用。此外，當涉及到三個或更多變量時，它們很容易成為非常耗時的計算。
許多已提出的其他有限差分方法既有顯式有限差分方法的一些特點，又有隱式有限差分方法的一些特點。
在所謂的跳房子方法中，當我們從一個節點移動到另一個節點時，我們在顯式和隱式計算之間交替進行。如圖20.18所示。在每一次，我們首先在顯式節點，，(E)上按照通常的方式進行所有的計算。“隱式節點”(I)可以在不求解聯立方程組的情況下處理，因為相鄰節點的值已經計算過了。
有限差分法的應用
有限差分法與樹形法同樣適用于同類的導數定價問題。它們既可以處理美式的衍生品，也可以處理歐式的衍生品 tives，但在衍生品的收益取決于基礎變量的過去歷史的情況下，就不能輕易使用了。當有多個狀態變量時，可以使用有限差分方法，但要付出大量增加計算機時間的代價。然后，圖20.15中的網格就變成了多維的。
計算希臘字母的方法類似于計算樹木的方法。Delta, gamma和可以直接從網格上的j\，j值中計算出來。對于vega，有必要對波動率做一個小的改變，并重新計算使用相同的網格的衍生品的價值。
總結
我們提出了三種不同的數值程序來計算導數，當沒有解析解可用。這些涉及到樹的使用，蒙特卡羅模擬和有限差分方法。
二叉樹假設，在每個短時間間隔At內，股價要么以u的倍數上升，要么以d的倍數下降。選擇u和d的大小及其相關的概率，以便在風險中性的世界中，股價的變化具有正確的平均值和標準差。衍生品價格的計算是從樹的末端開始，然后向后推算。對于美式期權，節點上的價值是(a)立即行使的價值和(b)再持有一段時間AL的貼現預期價值的較大值
蒙特卡洛模擬包括使用隨機數對衍生品下的變量在風險中性世界中可能遵循的許多不同路徑進行采樣。對于每條路徑，都以無風險利率計算并折現收益。折現收益的算術平均值就是導數的估計值。
有限差分法通過將基礎微分方程轉化為差分方程來求解。它們類似于樹形方法，計算從導數的生命周期結束回到開始。顯式有限差分法與三叉樹法在功能上是相同的。隱式有限差分法更為復雜，但其優點是用戶不必采取任何特別的注意事項來保證收斂。
在實踐中，所選擇的方法很可能取決于所評估的導數的特征和所需的精度。蒙特卡洛模擬工作從開始到結束的導數的生命。它可以用于歐洲式的衍生品，就收益而言，它可以應付大量的復雜性。隨著潛在變量數量的增加，它會變得相對更有效。
樹形方法和有限差分方法從證券的生命周期結束到開始，可以適用于美式和歐式的衍生品。然而，當收益取決于狀態變量的過去歷史以及它們的當前值時，它們很難適用。此外，當涉及到三個或更多變量時，它們很容易成為非常耗時的計算。
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