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為什么看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的波動(dòng)率微笑一樣
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期權(quán)的市場價(jià)格與布萊克-斯科爾斯-默頓模型預(yù)測的價(jià)格有多接近?交易員在確定期權(quán)價(jià)格 時(shí)，真的使用布萊克-斯科爾斯-默頓模型嗎?資產(chǎn)價(jià)格的概率分布真的是 正態(tài)嗎?本章回答了這些問題。它解釋了交易員確實(shí)會(huì)使用布萊克-斯科爾斯-默頓模型——但不是完全按照布萊克、斯科爾斯和默頓最初的意圖。這是因?yàn)樗鼈冊试S用于定價(jià)期權(quán)的波動(dòng)性取決于其行權(quán)價(jià)格和到期日。
一種期權(quán)的隱含波動(dòng)率曲線以其執(zhí)行價(jià)格為一個(gè)函數(shù)，這種曲線被稱為波動(dòng)率微笑。本章描述了交易者在股票和外匯市場使用的波動(dòng)微笑。它解釋了波動(dòng)率微笑和未來資產(chǎn)價(jià)格假設(shè)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率分布之間的關(guān)系。它還討論了期權(quán)交易員如何使用波動(dòng)率表面作為定價(jià)工具。
19.1為什么看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的波動(dòng)率微笑是一樣的
本節(jié)表明，當(dāng)歐洲看漲期權(quán)具有相同的行權(quán)價(jià)格且到期日為4時(shí)，其隱含波動(dòng)率與歐洲看跌期權(quán)相同。這意味著，特定期限的歐洲看漲期權(quán)與相同期限的歐洲看跌期權(quán)的波動(dòng)幅度是相同的。這是一個(gè)特別方便的結(jié)果。它表明，當(dāng)談?wù)摬▌?dòng)率微笑時(shí)，我們不必?fù)?dān)心期權(quán)是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)。
如前幾章所述，當(dāng)歐洲看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格和到期日相同時(shí)，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格之間存在平價(jià)關(guān)系。
和往常一樣，c和p是歐洲的看漲和看跌價(jià)格。它們有相同的行權(quán)價(jià)K和到期日T。變量S°是標(biāo)的資產(chǎn)今天的價(jià)格，r是T期限的無風(fēng)險(xiǎn)利率，q是資產(chǎn)的收益率。
買賣權(quán)平價(jià)關(guān)系的一個(gè)關(guān)鍵特征是，它基于一個(gè)相對簡單的無套利論證。它不需要任何關(guān)于概率的假設(shè)
未來資產(chǎn)價(jià)格的分布。無論資產(chǎn)價(jià)格分布是對數(shù)正態(tài)還是非對數(shù)正態(tài)，它都是成立的。
假設(shè)，對于波動(dòng)率的某個(gè)特定值，pBS和cBS是使用布萊克-斯科爾斯-默頓模型計(jì)算的歐洲看跌期權(quán)和看漲期權(quán)的價(jià)值。進(jìn)一步假設(shè)pmkt和cmkt是這些期權(quán)的市場價(jià)值。因?yàn)樵诓既R克-斯科爾斯-默頓模型中，看跌期權(quán)平價(jià)是成立的，我們必須在沒有套利機(jī)會(huì)的情況下，買賣權(quán)平價(jià)對市場價(jià)格也成立，因此
我們得到PBS - Pmkt = CBS - cmkt (192)
這表明，用Black-Scholes-Merton模型為歐洲看跌期權(quán)定價(jià)時(shí)的美元定價(jià)誤差應(yīng)該與用相同行權(quán)價(jià)格和到期時(shí)間為歐洲看漲期權(quán)定價(jià)時(shí)的美元定價(jià)誤差完全相同。
假設(shè)看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率為22%，這意味著在Black-Scholes-Merton模型中，當(dāng)波動(dòng)率為22%時(shí)，Pbs = Pmkt。由式(19.2)可知，使用該波動(dòng)率時(shí)，cBS = cmkt。因此，買入期權(quán)的隱含波動(dòng)率也是22%。這一論證表明，當(dāng)兩者具有相同的行權(quán)價(jià)和到期日時(shí)，歐洲看漲期權(quán)的隱含波動(dòng)率與歐洲看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率總是相同的。
換句話說，對于給定的行權(quán)價(jià)格和到期日，與布萊克-斯科爾斯-默頓模型(Black-Scholes-Merton model)一起用于為歐洲看漲期權(quán)定價(jià)的正確波動(dòng)率，應(yīng)該始終與用于為歐洲看跌期權(quán)定價(jià)的波動(dòng)率相同。
這意味著，對于歐洲看漲期權(quán)和歐洲看跌期權(quán)，波動(dòng)率微笑(即某一特定期限的隱含波動(dòng)率和行權(quán)價(jià)格之間的關(guān)系)是相同的。這也意味著，對于歐洲看漲期權(quán)和歐洲看跌期權(quán)，波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)(即，隱含波動(dòng)率和特定執(zhí)行權(quán)期限之間的關(guān)系)是相同的。
一種期權(quán)的隱含波動(dòng)率曲線以其執(zhí)行價(jià)格為一個(gè)函數(shù)，這種曲線被稱為波動(dòng)率微笑。本章描述了交易者在股票和外匯市場使用的波動(dòng)微笑。它解釋了波動(dòng)率微笑和未來資產(chǎn)價(jià)格假設(shè)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率分布之間的關(guān)系。它還討論了期權(quán)交易員如何使用波動(dòng)率表面作為定價(jià)工具。
19.1為什么看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的波動(dòng)率微笑是一樣的
本節(jié)表明，當(dāng)歐洲看漲期權(quán)具有相同的行權(quán)價(jià)格且到期日為4時(shí)，其隱含波動(dòng)率與歐洲看跌期權(quán)相同。這意味著，特定期限的歐洲看漲期權(quán)與相同期限的歐洲看跌期權(quán)的波動(dòng)幅度是相同的。這是一個(gè)特別方便的結(jié)果。它表明，當(dāng)談?wù)摬▌?dòng)率微笑時(shí)，我們不必?fù)?dān)心期權(quán)是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)。
如前幾章所述，當(dāng)歐洲看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格和到期日相同時(shí)，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格之間存在平價(jià)關(guān)系。
和往常一樣，c和p是歐洲的看漲和看跌價(jià)格。它們有相同的行權(quán)價(jià)K和到期日T。變量S°是標(biāo)的資產(chǎn)今天的價(jià)格，r是T期限的無風(fēng)險(xiǎn)利率，q是資產(chǎn)的收益率。
買賣權(quán)平價(jià)關(guān)系的一個(gè)關(guān)鍵特征是，它基于一個(gè)相對簡單的無套利論證。它不需要任何關(guān)于概率的假設(shè)
未來資產(chǎn)價(jià)格的分布。無論資產(chǎn)價(jià)格分布是對數(shù)正態(tài)還是非對數(shù)正態(tài)，它都是成立的。
假設(shè)，對于波動(dòng)率的某個(gè)特定值，pBS和cBS是使用布萊克-斯科爾斯-默頓模型計(jì)算的歐洲看跌期權(quán)和看漲期權(quán)的價(jià)值。進(jìn)一步假設(shè)pmkt和cmkt是這些期權(quán)的市場價(jià)值。因?yàn)樵诓既R克-斯科爾斯-默頓模型中，看跌期權(quán)平價(jià)是成立的，我們必須在沒有套利機(jī)會(huì)的情況下，買賣權(quán)平價(jià)對市場價(jià)格也成立，因此
我們得到PBS - Pmkt = CBS - cmkt (192)
這表明，用Black-Scholes-Merton模型為歐洲看跌期權(quán)定價(jià)時(shí)的美元定價(jià)誤差應(yīng)該與用相同行權(quán)價(jià)格和到期時(shí)間為歐洲看漲期權(quán)定價(jià)時(shí)的美元定價(jià)誤差完全相同。
假設(shè)看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率為22%，這意味著在Black-Scholes-Merton模型中，當(dāng)波動(dòng)率為22%時(shí)，Pbs = Pmkt。由式(19.2)可知，使用該波動(dòng)率時(shí)，cBS = cmkt。因此，買入期權(quán)的隱含波動(dòng)率也是22%。這一論證表明，當(dāng)兩者具有相同的行權(quán)價(jià)和到期日時(shí)，歐洲看漲期權(quán)的隱含波動(dòng)率與歐洲看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率總是相同的。
換句話說，對于給定的行權(quán)價(jià)格和到期日，與布萊克-斯科爾斯-默頓模型(Black-Scholes-Merton model)一起用于為歐洲看漲期權(quán)定價(jià)的正確波動(dòng)率，應(yīng)該始終與用于為歐洲看跌期權(quán)定價(jià)的波動(dòng)率相同。
這意味著，對于歐洲看漲期權(quán)和歐洲看跌期權(quán)，波動(dòng)率微笑(即某一特定期限的隱含波動(dòng)率和行權(quán)價(jià)格之間的關(guān)系)是相同的。這也意味著，對于歐洲看漲期權(quán)和歐洲看跌期權(quán)，波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)(即，隱含波動(dòng)率和特定執(zhí)行權(quán)期限之間的關(guān)系)是相同的。
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